Considere Os Números A E B Definidos Pelas Seguintes Multiplicações

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Considere os números A e B, definidos pelas seguintes multiplicações:

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A = 1/2, 3/4, 5/6, 7/8, …, 99/100
B = 2/3, 4/5, 6/7, 8/9, …, 98/99
“`

Nessas condições, o produto A.B é:

(a) 1/100
(b) 100
(c) 1
(d) 98/100
(e) 100/98

Para calcular o produto A.B, podemos usar a seguinte fórmula:

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A.B = a1b1 + a2b2 + … + anbn
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Onde:

* a1, a2, …, an são os elementos da primeira sequência
* b1, b2, …, bn são os elementos da segunda sequência

No caso específico deste problema, temos:

“`
A.B = (1/2)(2/3) + (3/4)(4/5) + … + (99/100)(98/99)
“`

Observe que os termos da soma podem ser agrupados em pares:

“`
A.B = (1/2)(2/3) + (3/4)(4/5) + … + (99/100)(98/99)
= (1/2)(1 – 1/3) + (3/4)(1 – 1/5) + … + (99/100)(1 – 1/100)
= (1/2 – 1/6) + (3/4 – 1/10) + … + (99/100 – 1/100)
= (1/3) + (1/10) + … + (1/100)
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Os termos da soma agora são todos iguais a 1/100. Portanto, o produto A.B é igual a:

“`
A.B = (1/3) + (1/10) + … + (1/100) = (10/100) + (10/100) + … + (10/100) = 10(1/100) = 98/100
“`

Por que os termos da soma podem ser agrupados em pares?

Os termos da soma podem ser agrupados em pares porque cada par tem um produto igual a 1/100. Isso ocorre porque, para cada par, um dos números é igual a 1/n e o outro número é igual a 1 – 1/n. O produto de dois números iguais a 1/n é 1/n, e o produto de dois números iguais a 1 – 1/n é 1 – 1/n.

Por que os termos da soma agora são todos iguais a 1/100?

Os termos da soma agora são todos iguais a 1/100 porque cada termo é igual a 1/n, onde n é um número natural. Portanto, cada termo é igual a 1/100, que é o denominador comum de todos os números naturais.